本章小结
随机变量的数字特征是由随机变量的分布确定的,能描述随机变量某一个方面的特征常数。最重要的数字特征是数学期望和方差。数学期望描述随机变量
取值的平均大小,方差
描述随机变量
与它自己的数学期望
的偏离程度。数学期望和方差虽不能象分布函数、分布律、概率密度一样完事地描述随机变量,但它们能描述随机变量的重要方面或人们最关心方面的特征,它们在应用和理论上都非常重要。
要掌握随机变量的函数的数学期望
的计算公式。这两个公式的意义在于当我们求
时,不必先求出
的分布律或概率密度,而只需利用
的分布律或概率密度就可以了,这样做的好处是明显的。
我们常利用公式
来计算方差,请注意这里
和
的区别。
要掌握数学期望和方差的性质。提请读者注意的是:
(1)当独立或
不相关时,才有
;
(2)设为常数,则有
,右边是
,不是
;
(3),当
独立或
不相关时才有
。
例如,若独立,则有
。
在数理统计中我们将看到直接利用试验得到的数据就能估计或
。
相关系数有时也称为线性相关系数,它是一个可以用来描述随机变量
的两个分量
、
之间的线性关系紧密程度的数字特征。当
较小时
、
的线性相关的程度较差;当
时称
、
不相关。不相关是指
、
之间不存在线性关系,
、
不相关,它们还可能存在除线性关系之外的关系。又由于
、
相互独立是指
、
的一般关系而言的,因此有以下的结论:
、
相互独立则
、
一定不相关;反之,若
、
不相关则
、
不一定相互独立。
特别,对于二维正态变量,
和
不相关与
和
相互独立是等价的。而二元正态变量的相关系数
就是参数
。于是,用“
”是否成立来检验
、
是否相互独立是很方便的。